Машина зарегистрирована в/на Украине.
В документах двигатель б/н, кузов б/н.
Можно на такой машине выехать в Россию (выпустят?), въехать (пустят?) и выехать назад (выпустят?)
К чему можно придраться?

Пустят. Ни к чему не придерутся, раз в документах так.

Было время - не выпускали, однако.